В 1983 году окончил ГИТИС (мастерская И.М. Туманова, Б.Г. Голубовского) по специальности «Актерское искусство». В 1991 году эмигрировал в США. Сейчас живёт в городе Провиденс (штат Род-Айленд). Об американском периоде своей жизни Андрей Алёшин рассказал журналистке Ксении Лариной, с которой он вместе учился в ГИТИСе: «Уехал снимать кино... да так и остался. Кем только не был... Работал у Пола Ньюмана в организации помогающей детям с серьёзными онкологическими заболеваниями. Зарабатывал на жизнь в гостинице официантом. Организовывал строительство публичной телевизионной станции в лесах штата Мэн... потом, в течение четырёх лет исправно исполнял роль станционного смотрителя оной станции. Снимал документалки... Был обласкан вниманием и мааааленькой славой... Потом плюнул на всё и... ушёл в отцовство. Трое детей. 23, 17, 10. Франческа и Томас, от первого брака жены. Младшая, Анна, плоть и кровь. Сейчас я фотограф. Когда есть время и деньги, мотаюсь по свету... знакомлюсь с людьми... изучаю нравы и традиции (по мере способностей)... ловлю моменты красоты (истины). Фотография для меня, как японские танку... рассказ о большом, минимальными средствами.»